Covid-19 matematicky: Co znamená R=0.8

Prymula podmiňuje zmírnění opatření tím, že se podaří snížit reprodukční číslo R na 0.8. Nikdo se ale neobtěžoval říct, co to vlastně znamená. Proto si to pojďme spočítat.

Abychom mohli něco spočítat, musíme si nejprve stanovit z čeho vycházíme.

Při dalších výpočtech předpokládám, že:

– se nám ke dnešnímu dni podaří dosáhnout R=0.8 (a Prymula se k tomuto číslu upíná),

– perioda mezi dnem, kdy někoho nakazím, a dnem kdy on nakazí někoho dalšího, je 4 dny (nerealisticky optimistické. Nejspíš je to víc a větší číslo vede k pomalejšímu ústupu.)

– k dnešnímu dni máme 15 tisíc nově nakažených denně (toto číslo nezní nijak nerealisticky i když do toho počítám víkendy. Stačí se podívat, jak moc přetížený je náš měřák – 30% testovaných má covid, hygiena se neptá na známé ale jen na rodinu a velice blízké kontakty….).

Zbytek je jednoduchá matematika. Co těmito předpoklady myslím?

Mějme dnes 100 nakažených. Každý z nich za 4 dny začne být nakažlivý, a ještě ten den stihne nakazit v průměru 0.8 dalšího člověka. (Kdyby toho člověka nenakazil hned za 4 dny, znamenalo by to pomalejší ústup epidemie, a tudíž víc nakažených – představme si jeden týden kdy máme R=1 a deset tisíc nakažených denně. Pokud se mi další týden v pondělí povede srazit R na 0.8, a perioda je 4 dny, budu mít v pátek už jen 8000 případů, protože je nakazili ti pondělní. Kdyby ale byla perioda 7 dnů, měl bych v pátek ještě pořád 10 tisíc případů, protože byli nakaženi ještě předtím, než se mi R podařilo snížit)

Jak spočítat dobu ústupu?

Pokud máme R=0.8, znamená to, že pokud dnes máme 10000 případů, budeme jich mít za 4 dny 0.8*10000=8000, protože každý nakažený nakazí průměrně 0.8 člověka. Za další 4 dny budeme mít 6400 = 0.8*8000 = 0.8^2 * 10000, protože každý z 8000 nakažených nakazí průměrně 6400 člověka. Za další 4 dny budeme mít 0.8*6400 = 0.8^3 *10000, a tak dále.

Neboli, za n period budeme mít R^n * dnešní počet nakažených = 0.8^n *10000 nakažených.

Pro 15 000 případů, R=0.8 a periodu 4 dny (tedy naše dnešní podmníky), budeme mít za 32 dnů krásných 15 000 * 0.8^(32/4) = 2516 případů denně.

Za 46 dnů by to bylo 1152 případů denně.

Za 60 dnů by to bylo 527 případů denně.

Tedy, i kdyby se naplnilo Prymulovo zbožné přání s R=0.8, hospody nebudou otvírat ani za měsíc a půl. Možná tak za dva měsíce, a to hezky v rouškách, protože stačí jedno zaškobrtnutí a poměrně rychle letíme zpátky… Ono na jednu periodu s R=1.6 připadají dvě periody s R=0.8, kdy se budeme vracet na původní čísla – neboli za každý měsíc pařeb dva měsíce doma…

Nyní zbývá spočítat, kolik lidí se za příští dva měsíce nakazí.

Vyjděme z vzorce pro součet geometrické řady: 15000 + 0.8 * 15000 + 0.8^2 * 15000 + 0.8^3 * 15000 + … + 0.8^15 * 15000 = 15000* (0.8^(15+1) -1) / (0.8-1) = 72888. Problém ale je, že to nejsou všichni. To bychom započítali jenom ty kteří byli nakaženi těmi, co měli covid v pondělí, a těmi které nakazili jimi nakažení, atd. Abychom započítali i ty, jejichž nakažení se datuje k úterním, středečním a čtvrtečním nakaženým, musíme původní čísla vynásobit čtyřmi.

4*15000* (0.8^(15+1) -1) / (0.8-1) = 291 552 nakažených v příštích 2 měsících.

Kolik je to mrtvých a hospitalizovaných lze relativizovat do aleluja, a přeji při tom příjemnou zábavu. Osobně doporučuji vykašlat se na „skutečný počet nakažených“, počítat to vůči počtu diagnostikovaných. Myslím ale, že začíná být výrazně levnější 14 denní lockdown, než dvouměsíční poloviční lockdown.

---