Nedaj-li medajli - zpět na článek

Nenech se mást nedouky, jichž, jak se při zběžném (snad mylném) pohledu zdá, je zde většina.
0,9per k 1 nechybí zhola nic; jde o alternativní zápisy jednoho a téhož čísla. Trik je prostě a jednoduše v tom, že desetinný zápis s periodou není jednoznačný; různé zápisy mohou representovat stejné číslo (libovolné číslo — vyjma nuly — lze zapsat dvěma způsoby, s devítkovou periodou na konci a bez ní).
Nic více, nic méně. Nejde vůbec o nějaké limity či podobné ošklivosti; jde jen a jenom o alternativní zápis.

To, že na ZŠ (stejně jako vcelku kdekoli jinde) je nutné zjednodušovat, o tom není sporu.
Naproti tomu o vhodnosti přístupu at je to spravne, nebo ne, tohle jsem slysel a musel si povinne zapsat do sesitu. Nasledne pochopitelne napsat do testu a podle testu jsem byl hodnocen bych si dovolil zásadně pochybovat. U nás tomu tak, naštěstí, nebylo, ani na ZŠ, ani na gymnasiu.
Pojem „limitně se blíží“ smysl samozřejmě má; ale opět si nejsem jist, zda na ZŠ — já bych jej osobně rozhodně odložil až na gymnasium — a hlavně a především nemá lautr nic společného s původním jádrem této diskuse, totiž s číslem 0.9per.

Aha, pardon: pokud to nebyl překlep a mělo to skutečně být „světa“ bez toho -l-, pak jsem se to neučil, resp. netuším, co by to mělo být, pokud ne to, že svět se skládá z částic, což je pravda natolik nepochybně, nakolik nepochybné vůbec nějaké fysikální tvrzení může být.

P.S. Jinak problém je zcela konkrétně v tom, že planetární model dává předpovědi, jež dost hrubě neodpovídají experimentům. Naproti tom kvantovka je přesným popisem reality v tom smyslu, že — opravte mne prosím někdo, kdo to sledujete, pokud mi někde něco uniklo — až dosud není znám ani jeden jediný experiment, jehož výsledek by neodpovídal kvantové předpovědi.

3.11.2016 v 15:05

V tom modelu, v němž se pohybujeme, neexistuje „za nekonečnem“. To nekonečno běží… ehm… do nekonečna; a žádné „poslední“ místo tedy nemá, kde by ho to chudák leda vzalo.
Druhý odstavec nechápu vůbec.
Abych se pokusil zkrátit případnou následnou debatu — desetinná čísla jsou definována zhruba tak, že na N-tém místě za desetinnou tečkou je číslice, jež representuje násobek 10^-N (to není podstatné, to jen abychom si ujasnili, o čem je tady řeč). Číslo 0,9 periodických je pak definováno tak, že pro každé N je na N-tém místě za desetinnou tečkou devítka (to je důležité, obzvlášť ono „pro každé N“). Dále pak ono „každé N“ zde implicitně znamená libovolné přirozené číslo — v obou předcházejících větách. Nic více, nic méně.

Nejde o to, že by se jedno číslo rovnalo jinému; jde pouze o dva různé zápisy jednoho jediného čísla (jež se nepřekvapivě rovná samo sobě).

Stran otázky „a jak to, že 0.9per je zápisem čísla 1 a ne něčeho malinko menšího?“ se odpovídá špatně právě proto, že nekonečno se intuitivně špatně přijímá — v reálném světě žádné nekonečno není, nemáme s ním zkušenosti, chová se „divně“.

Znáte prastarý klasický paradox Achilla a želvy? To je něco trochu podobného — tvrzení, že „Achilles nemůže želvu dohnat, protože mu stále o malý, čím dál tím menší, ale nenulový kousek utíká“ je docela přesně ekvivalentní názoru, že „0.9per nemůže být jedna, protože k ní malý, čím dál tím menší, ale nenulový kousek chybí.“

Umíte sčítat geometrické řady? Pokud ano, stačí, uvědomíte-li si, že zápis 0.9per lze vyjádřit jako součet geometrické řady 0.9×10^-N — a tím součtem je 1.

Znáte limity? Ano-li, pak není obtížné si uvědomit, že limitou řady 0.9, 0.99, 0.999… je 0.9per=1.

Ta limita se dá přepsat z matematičtiny do lidské řeči velmi přibližně třeba takto: čísla 0.9, 0.99 a tak dále se blíží k 1; pro každý rozdíl od 1, který chceme, byť byl sebemenší, najdeme konečný počet devítek takový, že 0.9….9 s tímto počtem devítek je k jedničce blíž, než ten zadaný rozdíl. Tedy 0.9per s nekonečným počtem devítek je k jedničce blíž, než jakýkoli možný rozdíl. Existuje jen jedno jediné číslo, které je k jedničce blíž, než jakýkoli možný, třeba sebemenší rozdíl — a to je sama jednička.

Myslím, že primární příčinou problému je představa, že desetinný zápis je nějak z principu jednoznačný. Není. Technicky vzato jsou odlišné zápisy i 1, 1.0, 1.00, …. 1.0per, a všechny odpovídají jednomu a témuž číslu; no, a kromě tohoto nekonečna možných zápisů mu odpovídá ještě jeden, a to je 0.9per.