Aneb roste astronautův vous opravdu pomaleji a zkrátí se mu přirození?
Tento článek je pokusem o první díl seriálu článků populární fyziky. Motivací mi byly časté (netriviální) fyzikální diskuze, které se na DF webu strhávají. Jelikož je navíc součástí mého PhD studia povinnost přednášet na univerzitě, rozhodl jsem se (s požehnáním místního nejvyššího) osvěžit si znalosti z astrofyziky právě tímto způsobem. Témata a jejich prezentaci jsem se snažil vybírat ta nejzajímavější i pro běžného čtenáře, projdeme si tedy Speciální a Obecnou teorii relativity (dilatace času, kontrakce délek, černé díry, horizonty událostí, paradoxy atd.), kvantovou mechaniku (relace neurčitosti, Schrödingerovy rovnice i kočky), elektromagnetické spektrum a jeho detekce (teleskopy, družice, antény,…) a mnoho dalšího, záleží na úspěchu.
Pár slov na úvod
Na první díl jsem si vybral docela známé téma, přesto největším problémem bude celou věc podat tak, aby nenudila jednoduchostí nebo naopak neodrazovala přílišnou složitostí. Na konci článku proto najdete anketu, kde můžete vyjádřit svůj názor na toto téma a já se budu do příště snažit přizpůsobit. Jelikož HTML je na psaní složitých rovnic nepoužitelné, jsou všechny rovnice psány v Linuxovém textovém editoru LaTeX a poté vytípány jako obrázky. Pokud se nenačtou, většinou stačí stránku obnovit. Zdrojem informací mi budou především skripta a poznámky z přednášek abych zaručil originalitu, což dává čtenáři jedinečnou možnost spílat mi v diskuzi za to, že ve wikipedii je to jinak. Pojďme se tedy vrhnout na zkracující se tyče a zpomalující hodiny.
Speciální teorie relativity (dále jen STR)
je nejznámějším dílem Alberta Einsteina z roku 1905, které pojednává o teorii času a prostoru. Pro její platnost jsou potřeba následující dva postuláty:
1) Princip speciální relativity
V nerelativistické mechanice zavádíme prvním Newtonovým zákonem inerciální vztažnou soustavu (velmi zjednodušeně např. dům, auto, atd.). Ve skutečnosti jich tím však zavádíme nekonečně mnoho a Newton nám neposkytuje prostředky k určení primární nepohyblivé inerciální soustavy (dále jen IS), vůči které bychom ty ostatní mohli vztáhnout (vůči domu se pohybuje auto, ale vůči autu se pohybuje dům). Einstein toto řeší tak, že není možné žádným fyzikálním pokusem rozhodnout, která ze dvou IS pohybujících se vůči sobě rovnoměrně přímočaře je v pohybu a která v klidu. Tyto úvahy tvoří princip speciální relativity: Všechny IS jsou si navzájem rovnocenné (tj. fyzikální vzorce jsou ve všech IS stejné, experimenty dopadají stejně).
2) Princip konstantní rychlosti světla
Světlo se ve vakuu šíří vůči všem IS konstantní rychlostí nezávislou na rychlosti zdroje. Einstein vycházel z experimentálních výsledků, především z Michelson-Morleyho pokusu. V těchto pokusech šlo především o důkaz (ne)existence éteru, tedy jakéhosi média pro přenos elektromagnetického (dále elmag) vlnění. Stejně jako se zvukové vlnění přenáší kmitáním vzduchu, tak vědci potřebovali „kmitací“ prostředí pro elmag vlny, které se narozdíl od zvuku šíří i vakuem. Proto si vymysleli neviditelný éter, který by elmag vlnění roznášel po vesmíru. V pokusech se pak snažili strháváním éteru ovlivnit rychlost světla, což se nepodařilo a myšlenka éteru tak dnes přežívá pouze jako slovní obrat rádiových moderátorů (rádiové vlny jsou totiž část elmag spektra).
Lineární Lorentzova transformace
Ačkoliv se snažím odvozování rovnic držet na minimu, zde musím udělat výjimku. Rovnice pro známé zkracování délek a protahování času jsou totiž přímý důsledek Lorentzovy transformace souřadnic. Koho to přeci jen nezajímá, nechť tuto kapitolu přeskočí. Představme si, že máme dvě IS se stejným počátkem, které jsou charakterizovány kartézským systémem souřadnic x, y, z (délka, výška, šířka) a časem t. Souřadnice druhého systému budeme čárkovat, tj. (x’, y’, z’, t’). Čárkovaný systém se vůči nečárkovanému pohybuje konstantní rychlostí v ve směru osy x. Toto si lze představit například na dvou autech, kdy jedno na silnici stojí a druhé ve stejném pruhu jede konstantní rychlostí směrem od prvního.
Pro transformaci ze souřadnic stojící Fabie HTP k souřadnicím Vincenta Naftalína pak zjevně můžeme napsat následující rovnice: 
Vidíme rovnost směrů kolmých k směru pohybu (šířka a výška auta y a z). Počátek čárkované soustavy souřadnic (Dýzl kchar) se vůči nečárkované (Fabiator) pohybuje rychlostí v, pozici x’=0 tedy můžeme napsat jako x=vt a tyto výrazy nyní dosadíme do druhé rovnice a dostaneme 
a po dosazení zpět do druhé rovnice dostaneme výraz x’=D(x-vt). Pro inverzní transformaci (od čárkované zpět k nečárkované IS) pak platí x=D(x’+vt). Dle principu konstantní rychlosti světla platí, že vyšleme-li v okamžiku O=O‘ (začátek závodu) světelný signál ve směru osy x, je jeho rychlost vůči oběma autům rovna c (konstanta rychlosti světla). Ze základního vzorce dráha=rychlost*čas dostaneme pro náš případ x=ct a x’=ct‘. Po dosazení do předešlých transformací dostaneme dvojci rovnic 
po vzájemném vynásobení 
Poslední výraz, který se označuje římským písmenem gamma, se nazývá Lorentzův faktor a nabývá hodnot od 1 (v=0) do nekonečna (v blížící se c). Tím jsme vypočítali obě neznámé C a D a máme tak tedy rovnice pro Lorentzovu transformaci souřadnice x včetně inverzní transformace zpět od x‘. 
Po dosazení jedné rovnice do druhé dostaneme po přímočarém výpočtu vztah pro relativistickou transformaci času 
Vidíme tedy, že Lorentzova transformace transformuje netriviálně i časovou souřadnici, čas tedy přestává být absolutní veličinou, jakou byl v klasické mechanice. Pokud má být Lorentzova transformace univerzálně platná, musí platit i pro nerelativistické rychlosti. Toto Lorentzova transformace splňuje, neboť při malé hodnotě rychlosti v se výraz v/c limitně blíží nule a Lorentzova tranformace přejde na klasickou nerelativistickou transformaci Galileovu 
Důsledky Lorentzovy transformace
1) Kontrakce délek
Z dřívějška víme, že výška a šířka pohybujícího se Dýzlova auta není závislá na jeho rychlosti, jelikož jsou to směry kolmé na směr pohybu. Jak se tedy bude chovat délka vozu? Nejdříve změříme délku vozu v soustavě, v které je v klidu, tedy čárkované. Vin Diesel, vůčí kterému se jeho auto nepohybuje, tedy změří délku svého vozu &Deltax‘ (řeckým Delta se ve fyzice označuje většinou rozdíl hodnot nebo změna dané veličiny, zde rozdíl hodnot pozice předku vozu x‘1 a pozice zadku x‘2, tedy jeho délka). Pro naše nečárkované měření ze stojící Fabie pak z Lorentzovy transformace plyne
Abychom změřili délku pohybujícího se vozu, musíme měřit jeho začátek a konec ve stejném časovém okamžiku (je nesmysl změřit pozici předku a následně pozici zadku změřit o nějaký časový interval později neboť auto mezitím popojede). Položíme tedy &Deltat rovno nule. Pokud délku &Deltax‘ označíme jako l0 (tzv. klidová nebo vlastní délka, jelikož v čárkovaném IS je vůz v klidu) a námi měřenou délku &Deltax označíme jednoduše l, dostaneme výslednou rovnici pro kontrakci délek
Vidíme, že Dieslova Corvetta se nám bude jevit kratší než byla před závodem. Vtip relativity je v tom, že Dieselovy se naopak bude kratší jevit naše Fabie, neboť vzhledem k jeho IS se pohybujeme my. Princip tohoto efektu spočívá v konečné rychlosti světla a z toho vyplývající relativnosti měření obou konců vozu ve stejném čase. Pojďme si to vysvětlit názorně.
Chceme-li změřit pozici předku i zadku Corvetty současně, můžeme to udělat například tak, že podél osy pohybu rozmístíme foťáky, které spustíme všechny najednou v době, kdy kolem nich projíždí Corvetta rychlostí blížící se rychlosti světla. Pro změření délky vozu pak stačí najít foťák, který zachytil předek vozu a ten který zachytil zadek a určit jak daleko jsou tyto foťáky od sebe. Jak ale situace vypadá z pohledu Corvetty? Pro jednoduchost budeme uvažovat jen dva foťáky s bleskem, jeden daleko před Corvettou a druhý daleko za. Pozorovatel v klidu je spustí najednou a z obou blesků se vydá světlo směrem ke Corvettě konečnou rychlostí c. Auto ale jede velmi rychle a tak světlu z foťáku před ním jede vstříc, zatímco světlu z foťáku za ním ujíždí. Diesel v Corvettě tedy nejdříve uvidí blesknout foťák před ním a až teprve potom foťák za ním, pro Diesela tedy nejsou současné události, které jsou současné pro nás (viz relativita současnosti později). Jak tedy uvidí to, co my vnímame jako současné blesknutí všech foťáku najednou? Právě jsme si ukázali, že uvidí postupnou sekvenci blesků směrem odpředu dozadu. Nejdříve tak foťáky zachytí předek vozu a dále ho snímají směrem k zádi, zatímco se Corvetta pohybuje opačným směrem vpřed!! Každý další foťák tak zachytí část vozu, která je dále k zádi oproti části, kterou by zachytil na stojícím voze. Pokud pak tyto fotografie složíme, dostaneme vůz zkrácený ve směru pohybu.
Stejně bychom dokázali i to, že naše stojící Fabie se jeví kratší pro jedoucího Diesela, jelikož v jeho soustavě jsme to my, kdo se pohybuje. Délka v STR není pojem absolutní, ale relativní. U dvou stejně dlouhých objektů, které se vůči sobě pohybují, může tedy nastat situace, že v jedné IS je jeden objekt delší než druhý, zatímco v druhé IS je tomu právě naopak. Délka totiž není vlastnost jen objektu, ale i jeho pohybu vůči IS, vzhledem k níž délku určujeme. Pojďme si nyní nastínit asi nejznámější paradox týkající se kontrakce:
Paradox tyče a otvoru
Představme si metrovou tyč, která se relativistickou rychlostí pohybuje po podložce, ve které je díra právě o rozměru jeden metr. Z hlediska IS spojené s podložkou dojde ke kontrakci tyče a tyč dírou propadne. Z hlediska IS spojené s tyčí se však naopak zmenší díra a tyč ji tedy přeletí. Úlohu je třeba ještě doplnit poznámkou o nutící síle, aby se nemnožily spekulace o přelétnutí díry díky setrvačnosti nebo absenci gravitace. Mějme tedy nad dírou buchar, který při detekci tyče tuto zatlačí (tlakem na střed nebo současně na kraje tyče) do díry, pokud se tam vleze.
Jak to tedy bude? Propadne tyč dírou nebo ne? Zkuste se zamyslet a svůj názor vyjádřit v anketě, v příštím díle si povíme, jak tento paradox řešit. Diskutující prosím, aby hned řešení neprozrazovali, vyguglení výsledku z vás Einsteina neudělá:)
2) Dilatace času
Dalším jevem, vyplývajícím z Lorentzovy transformace, je dilatace času. Budeme chtít například změřit časový interval, který uběhne než se Corvetta dostane z bodu A do bodu B. Použijeme tedy vzorec pro transformaci času, který jsme si odvodili dříve, ale v jeho inverzní podobě. Tedy stejně jako u inverzní transformace souřednic prohodíme čárky a změníme znaménko na plus
Čas samozřejmě změříme tak, že zachytíme moment kdy například přední kolo Corvetty protne místo A a kdy toto kolo protne místo B. Z hlediska Corvetty je tak &Deltax' rovno nule, jelikož na Corvettě měříme stále tentýž bod a neposunujeme se od kola dopředu ani dozadu. Pokud čárkovaný čas &Deltat' označíme jako &Delta &tau0(řecké tau, tzv. vlastní čas, tedy čas objektu, který se vůčí soustavě nepohybuje), dostaneme finální rovnici pro dilataci času
Vidíme, že časový interval změřený námi v nečárkované IS je delší než vlastní čas, který je změřen v klidu, dochází tedy k prdloužení (dilataci) času. To znamená, že pro pohyb Corvetty z A do B změříme ze stojící Fabie delší čas, než jaký změří Diesel v Corvettě. Astronaut, který by se rychlostí blízkou rychlosti světla vydal do vesmíru by se na Zemi po 100 letech vrátil opravdu jen o pár let starší. Přitom pro něj by ale čas uvnitř rakety ubíhal zcela normálně, žádné zpomalení hodin by nezaznamenal. Dilatace byla experimentálně potvrzena různými hodinami na palubách letadel a raketoplánů, ty se však pohybují hluboce podsvětelnou rychlostí, lepší důkaz tak poskytují například částice z horních vrstev atmosféry. Kosmické záření produkuje interakcí s horními vrstvami atmosféry miony, které pak pokračují směrem k povrchu Země. Pokud porovnáme množství mionů na vrcholu hory s množstvím u hladiny moře, zjistíme že jich je dole mnohem víc než by mělo. Čas, který miony potřebují k urazení vzdálenosti z vrcholku hory k hladině je totiž několikrát delší, než poločas rozpadu mionů. Značná část by jich tedy k hladině vůbec neměla dorazit. Díky jejich obrovské rychlosti jim však čas ubíhá zhruba 10x pomaleji než jak ho měří pozorovatel stojící u moře, proto jsou schopny dorazit k hladině dříve než se rozpadnou.
Paradox dvojčat
Když už jsme zmínili dlouhověkého astronauta, pojďme se zamyslet nad tím, proč dilatuje čas rakety a nikoliv Země. První postulát STR přece říká, že všechny IS jsou si rovnocenné, takže na problém můžeme nahlížet i tak, že raketa celou dobu stojí a Země letí do vesmíru. Přesné znění tohoto známého paradoxu pak zní tak, že máme dvoje identické hodiny (dvojčata), jedny ponecháme na Zemi a ty druhé vyšleme konstantní rychlostí blízkou c po přímce směrem od Země a po nějaké době se tyto stejnou rychlostí vrátí po stejné přímce zpět. Pro jednoduchost budeme předpokládat, že relativistické rychlosti dosáhnou hodiny okamžitě po startu, nedochází tedy k žádnému postupnému zrychlení. Jak je tedy možné, že dilatace dosáhnou hodiny v raketě a nikoliv ty na Zemi? Zemská IS se tak v rozporu s STR stane privilegovanou a je považována za klidovou? Opět nechávám na čtenáři rozmyslet si vysvětlení, které objasním v příštím díle.
3) Relativita současnosti
Jak už jsme si na případu foťáku ukázali, pokud se pozorovatelé vzájemně pohybují, pak se nebudou obecně shodovat v tom, které události jsou současné. To je dáno tím, že žádný signál se v STR nemůže přenášet nekonečně rychle. Pojďme si to ukázat názorně na příkladu dvou lodí. Loď 1 míjí druhou rychlostí v a v momentě, kdy jsou přesně vedle sebe, narazí do vody u přídě a u zádě mezi loděmi meteority. Přenos informace o dopadu si pak můžeme představit jako postupující kruhy na vodě.
Dokonce lze u dvou nesoumístných událostí najít takové IS, kdy v jedné se události odehrají v opačném pořadí než v druhém. Základní myšlenkou STR je tak fakt, že nemůžeme o našem měření například vzdálenosti říct, že toto je skutečnost a tak je to "opravdu", protože pro jiného pozorovatele, který se bude vůči nám pohybovat, bude ta skutečnost a "opravdu" něco jiného a není možné určit, který z nás má pravdu, protože ji díky neexistence absolutna máme oba. Ještě poznámka, že výše zmíněné relativistické efekty hrají roli, pokud rychlost v v Lorentzově faktoru dosahuje alespoň 1/10 rychlosti světla. Proto jsou tyto efekty v našem obyčejném životě prakticky neměřitelné. O tom už ale příště, kdy si nastíníme Minkowského prostoročas, vzhled objektů v STR a možná načneme i obecnou teorii relativity.
Pozn.: Většina látky přebrána z přednášek doc. Oldřicha Semeráka, MFF UK.
BlueBoard.cz
(Zatím nikdo nehlasoval)