Fyzika pro DFensáky 2 – Obecná teorie relativity

Featured Image

Tentokrát bez vzorců, zajímavěji a s černými děrami!

Předně se omlouvám za opožděné vydání druhého dílu, způsobené přeletem Redguye přes kapotu auta, které mi vjelo z vedlejší před kola motorky. Naštěstí jsem vzhledem k nízké rychlosti vyvázl bez vážnějších následků a můžeme se tak opět vrhnout na fyziku a řešení paradoxů z minulého dílu. O nehodě možná napíšu jakmile bude ukončeno vyšetřováni ze strany PČR a uzmu nějaké fotografie.

Paradox tyče a otvoru
Stav ankety v době psaní článku je 338 hlasů pro možnost, že tyč projde, a 115 hlasů pro možnost, že neprojde. Řešení paradoxu spočívá v úvaze o relativitě současnosti. Jak jsme si totiž dokázali minule na příkladu lodí a meteoritů, události, vnímané jedním pozorovatelem jako současné, nejsou současné pro pozorovatele, který se vůči prvnímu pohybuje. Pokud tedy máme buchar nastavený v soustavě spojené s dírou tak, že zatlačí na tyč v momentě, kdy prochází pod bucharem, pak to znamená, že zatlačí na všechny části tyče současně. A tady je právě ten vtip, jelikož v soustavě tyče toto zatlačení současné nebude. Jak jsme si ukázali na lodích, na pohybující se lodi nejdříve zaregistrujeme meteorit na přídi, protože této informaci plujeme vstříc, a až poté meteorit na zádi, neboť této informaci ujíždíme. Taktéž pokud poletíme na naší tyči, zatlačí buchar v soustavě spojené s ní nejdříve na předek tyče a postupně bude tlačící síla postupovat směrem dozadu. Tyč se tedy ohne a dírou projde. Nehledejte žádný fígl v onom bucharu, můžeme ho nahradit jakoukoliv jinou silou, třeba gravitací. Základní princip je ten, že v STR neexistují žádné tuhé tyče. Ty by totiž přenášely signál nekonečnou rychlostí, což je v rozporu s STR, kde signál se šíří nanejvýš rychlostí světla. Pokud bychom na jeden konec ideálně tuhé tyče klepli, pozorovatel na druhém konci by to věděl okamžitě. Takový přenos signálu by zjevně zrušil všechny důsledky Lorentzovy transformace, které plynou právě z omezené rychlosti přenosu signálu. Při měření délky pohybujících se předmětů tuhými tyčemi by k žádné kontrakci délky nedocházelo. Ohnutí tyče je tedy způsobeno faktem, že zatímco předek tyče již padá do díry, zadní část o tom ještě neví.

Pokud má čtenář stále problém s představou ohnuté tyče, můžeme si řešení tohoto paradoxu ukázat na příkladu garážových vrat, které zmínil v diskuzi OC. Máme rychle jedoucí limuzínu, která je delší než garáž (ta je průjezdná a má na obou koncích vrata), avšak pokud pojede dostatečně rychle, díky kontrakci své délky se do garáže vejde. V soustavě spojené s garáží tedy nastane okamžik, kdy se celá limuzína vejde do garáže a my můžeme zavřít a otevřít zároveň oboje vrata, aniž bychom limuzínu omezili v jízdě.

Naopak v soustavě spojené s limuzínou se ještě více zkrátí garáž a není možné zároveň zavřít oboje vrata, aniž bychom v nich auto neskřípli. Řešení opět spočívá v relativitě současnosti. Co pozorovatel v soustavě spojené s garáží považuje za současný pohyb obou vrat, není současné pro řidiče limuzíny. Řidič zaregistruje situaci, kdy se nejdříve zavřou a otevřou zadní vrata, a až když garáž proletí kolem limuzíny na její konec, tak se jí za zadkem zavřou a otevřou přední vrata. Limuzína se tedy do garáže vejde, stejně jako se tyč propadne dírou.

Netriviální modifikace tohoto problému spočívá v pozměnění zadání tak, že garáž má místo zadních vrat tvrdou zeď. Otázkou je, zdali se přední vrata zavřou v momentě nabourání limuzíny do zdi nebo zda bude její konec trčet ven. Vzhledem ke konečnosti rychlosti přenosu signálu nebude zadní část limuzíny o nárazu ještě vědět, zatímco přední část již narazila, a zadní část se tedy bude pohybovat dále dopředu minimálně tak dlouho, jak dlouho trvá světlu doletět od místa srážky k zadní části. Limuzína se tedy zkrátí ještě více, než se zkrátila díky kontrakci a přední vrata se za ní zavřou. Co se stane, až se zadek o nárazu dozví? O tom se vedou diskuze, ale limuzína se buď může roztříštit, nebo se natáhnout zpět do klidové délky, pokud je materiál dostatečně elastický.

Paradox dvojčat
Řešení paradoxu dvojčat spočívá v uvědomění si faktu, že IS astronauta a IS dvojčete na Zemi nejsou rovnocenné, jak se na první pohled zdá. Aby se astronaut vrátil na Zemi, musí totiž provést otočku, která spočívá v deceleraci a následné akceleraci opačným směrem, čímž opustí svou původní IS (v níž se může pohybovat pouze rovnoměrně přímočaře). Pokud bychom uvažovali možnost, že se v jednom okamžiku začne pohybovat opačným směrem (jakoby se od něčeho odrazil), pak to znamená, že skočí z jedné IS do druhé a dojde tak k poruše souměrnosti dvojčat, jelikož dvojče na Zemi žádnou otočku neabsolvuje. Jsou zde tedy 3 IS, v jedné je v klidu dvojče na Zemi, v druhé je v klidu astronaut směřující od Země a v třetí je tento astronaut v klidu na cestě k Zemi. Pokud by astronaut změřil čas na Zemi před otočkou a po otočce, zjistil by, že během chvíle přeskočil dlouhý časový úsek, jelikož při změně IS se změní také definice současnosti mezi dvojčaty.

Ačkoliv jsem to měl původně v plánu, dále se již speciální teorií relativity zabývat nebudeme, jelikož už moc zajímavého nenabízí a především jí něco důležitého chybí. V STR se nevyskytuje akcelerace a tedy ani žádné síly, zatímco v opravdovém vesmíru se minimálně s jednou silou –gravitační- setkáváme u všech těles. To si uvědomoval i Einstein a tak prakticky ihned po dokončení STR (1905) začal pracovat na Obecné teorii relativity (1907-1915), tedy teorii o tom, jak je prostoročas ovlivňován tělesy v něm.

Obecná teorie relativity (OTR)
Základní myšlenkou obecné teorie relativity je tedy zakomponovat gravitaci do STR. Nejprve je ale potřeba se zamyslet nad tím, jak si gravitaci a její působení vlastně představit, jak ji pro naše experimenty nasimulovat, případně vyrušit, atd. K tomuto účelu naformuloval Einstein výchozí princip OTR, princip ekvivalence. K jeho pochopení si představme dva pozorovatele ve dvou výtazích. Jeden výtah bude v klidu a v gravitačním poli (dejme tomu Země), takže na pozorovatele uvnitř výtahu bude působit zrychlení (pro jednoduchost zaokrouhlíme) 10 m/s2. Druhý výtah pak bude mimo dosah jakýchkoliv gravitačních sil, ale bude tažen na laně směrem nahoru se zrychlením právě 10 m/s2. Pokud výtah bude bez oken, je zřejmé, že ani jeden pozorovatel nemůže určit, zdali se nachází v klidu nad Zemí nebo cestuje ve zrychleném výtahu ve vesmíru. Oba totiž bude tlačit k podlaze výtahu stejná síla (pro hnidopichy – pozorovatelé mají stejnou klidovou hmotnost) a pokud něco upustí, spadne to v obou výtazích stejně rychle.
Nyní si představme situaci, že druhý výtah se zastaví. Pozorovatel se tedy bude ve výtahu nacházet ve stavu beztíže, nebudou na něj působit žádné vnější síly. Ve stejném okamžiku se však první výtah zavěšený nad Zemí utrhne a bude padat volným pádem. První pozorovatel bude padat také, uvnitř výtahu bude ve stavu beztíže a bez možnosti pohledu z výtahu ven opět ani jeden nepoznají, která z těchto dvou situací nastala. Na základě těchto úvah můžeme tedy definovat tento Princip ekvivalence gravitace a setrvačnosti: Situace bez gravitačního pole je ekvivalentní situaci ve volně padajícím systému a gravitaci můžeme nasimulovat zrychlením.

Populární exhibicí tohoto principu jsou vesmírné lodě ze sci-fi filmů, jejichž součástí je otáčející se prstenec, na jehož obvodu vytvoří odstředivá síla umělou gravitaci. Ale zpět od sci-fi k fyzice. Veškerá teorie samozřejmě potřebuje experimentální ověření a Einstein princip ekvivalence bohužel neověřoval tím, že by ustřihával lana lidem ve výtazích. Místo toho se opřel o experimenty maďarského fyzika Eötvöse (čti étvéš). Ty spočívaly v úvaze, že gravitační i setrvačná síla jsou přímo úměrné hmotnosti objektu, na který působí. Mají-li se tedy tyto síly rovnat, musí se rovnat i gravitační a setrvačná hmotnost (tedy m na obou stranách rovnice). Gravitační hmotností se myslí míra reakce na gravitační pole, čím větší je gravitační hmotnost, tím víc objekt reaguje na gravitační sílu. Setrvačná hmotnost je jakýsi odpor tělesa vůči urychlení, čím větší je tato hmotnost, tím těžší je změnit pohybový stav tělesa (přibrzdit jej, urychlit, vychýlit do strany, atd.).

Eötvös sestrojil torzní váhy, tedy na provázek zavěsil tyčku a na oba její konce pak jednu kuličku. Pomocí zrcátka umístěného na tyčce a odrazů paprsku světla pak byl schopen rozpoznat sebemenší natočení těchto torzních vah. Na kuličky působí jak gravitační síla Země, tak odstředivá síla způsobená rotací Země, ani jedna se nemění, takže po vyvážení jsou váhy v klidu. Stejně tak jde uvažovat gravitační síla Slunce a odstředivá síla způsobená oběhem Země kolem Slunce, opět se ani jedna síla nemění. Uvědomíme si ale, že díky rotaci Země kolem své osy se mění pozice vah. V době, kdy jsou váhy na straně odvrácené Slunci, působí na první kuličku sluneční gravitační síla směrem k povrchu Země a odstředivá síla směrem od povrchu Země (způsobená právě rotací Země kolem Slunce). Naopak v době, kdy jsou váhy na straně přivrácené Slunci, působí síly opačně, tedy odstředivá směrem k povrchu a gravitační směrem od povrchu Země. Pokud by se tyto síly nerovnaly (tedy nerovnaly by se gravitační a setrvačná hmotnost), pak bychom pozorovali kmity torzních vah s periodou 24 hodin. Kuličky byly vyrobeny z různých kovů, například zlato a hliník, aby se vyloučil vliv materiálu a různé atomové stavby. Během let se zvyšovala přesnost těchto měření, což bylo důležité proto, že může záležet i na mikročásticích. Například může být různá setrvačná a gravitační hmotnost pouze pro elektrony, což by se nejstaršími experimenty nezměřilo. Dnes se přesnost měření (vyjádřená jako poměr gravitační a setrvačné síly, jehož změnu jsme schopni změřit) tohoto experimentu pohybuje zhruba v řádu 10-17 a princip ekvivalence je tímto experimentem stále potvrzen.

Jaké jsou tedy důsledky principu ekvivalence? Dochází například ke gravitačnímu posunu frekvencí, světlo padající dolů ve směru gravitační síly získává energii a jeho frekvence se zvyšuje (posouvá se do modra), zatímco světlo šplhající proti gravitační síle energii ztrácí a jeho frekvence se snižuje (posouvá do červena). S tím souvisí to, že dochází ke gravitační dilataci času, hodiny ve větším gravitačním poli budou běžet pomaleji než ty v menším poli. Pozorovatelé ale nic nezaregistrují, pro ně čas půjde normálně, teprve až když porovnají své časy, tak zjistí tento rozdíl. S tímto efektem se musí počítat například u satelitů, jejichž čas plyne vzhledem k našemu rychleji. Někde jsem četl, že pokud by se tento jev zanedbal například u satelitů GPS, zanášely by denně chybu určení polohy 15 km. Další zajímavé důsledky pak vycházejí z Einsteinova pojetí gravitace jako zakřivení geometrie časoprostoru. Einstein prezentuje prostoročas jako jakousi nataženou síť, kterou každé hmotné těleso lokálně zdeformuje prohybem, jehož velikost závisí na hmotnosti tělesa. Základní myšlenkou je to, že prostoročas určuje jak se má hmota pohybovat a hmota určuje naopak zakřivení prostoročasu. Rozdíl mezi STR a OTR je v tom, že v STR prostoročas svými vlastnostmi pouze určuje, co se v něm bude dít, zatímco v OTR tyto děje zpětně prostoročas ovlivňují.

Důsledkem zakřivení prostoročasu jsou zajímavé geometrické efekty. Například zakřivení dráhy světla kolem hmotného tělesa lze takto geometricky hezky vysvětlit tím, že se jeho dráha stočí po průchodu „žlábkem“, které v síti těleso vytvořilo (zkuste si cvrnknout kuličku tak, aby prošla důlkem v jakémkoliv místě kromě středu, a uvidíte, že změní svůj směr směrem ke středu důlku). Ohyb světla lze velmi jednoduše experimentálně dokázat na změně pozic hvězd, pokud v jejich blízkosti prochází Slunce. Hvězdy se od Slunce díky ohybu světla vzdalují. Pokud se divíte, proč se vzdalují, když světlo se stáčí ke Slunci, je to proto, že za pozici hvězdy považujeme místo, které vznikne protažením přímky, po které světlo dopadlo do teleskopu.

V astronomii se tohoto jevu využívá u tzv. gravitačních čoček, které slouží jako vesmírné teleskopy a vidíme díky nim velmi vzdálené objekty, které bychom jinak neviděli. Normálně totiž zachytíme pouze velmi úzký sloupec světla z vesmírného zdroje, který k nám docestuje po přímce. Gravitační čočka (tedy velmi hmotné těleso někde mezi zdrojem a Zemí) sice zastíní tento sloupec, ale ohne do našeho teleskopu prstenec světla, který prochází kolem ní. Tím se nám vytvoří místo bodového zdroje prstenec kolem čočky (pro další obrázky googlete „gravitational lensing“). Díky gravitační čočce se nám do teleskopu dostane mnohem více fotonů ze zdroje a můžeme tak pozorovat i velmi vzdálené a slabé objekty

Čočka obvykle není natolik masivní, aby vytvořila přímo prstenec, a nastává tak efekt zvaný „microlensing“. Při něm jsou zdánlivé (falešné) obrazy zdroje tak blízko sebe, že je s naším úhlovým rozlišením nerozeznáme jako jednotlivé body, ale slijí se nám v jeden. Přechod čočky pak pozorujeme jako náhlé zjasnění zdroje. Microlensing se od jiných příčin zjasnění pozná především díky symetrii (tj. průběh zjasnění a pohasnutí je stejný), zatímco většina ostatních fyzikálních příčin probíhá jako náhlé rychlé zjasnění a pomalé pozvolné pohasínání na původní svítivost.
Gravitačním čočkováním lze také určit některé vlastnosti čočkujícího objektu, především rozložení hmotnosti, a to i v případě, že objekt čočky nelze jinak pozorovat (např. černá díra, temná hmota).

Dalším efektem je gravitační vlnění, které si můžeme představit jako vlny šířící se rychlostí světla, které na naší prostoročasové síti vzniknou po nějakém vzruchu (výbuch supernovy, pulzace pulzaru, atd.). Toto vlnění se předpokládá například u dvojhvězd, které rotují kolem sebe a neustále se vzájemně přibližují. K tomu, aby se mohly přiblížit, potřebují vyzářit energii, která je větší, než energie vyzářená v celém elmag spektru. Předpokládá se tedy, že zbylou energii vyzáří tento systém ve formě gravitačního vlnění. K jeho detekci slouží interferometry, což jsou jednoduché systémy vzájemně natočených ramen o velmi dlouhých základnách, jejichž délku s velkou přesností měří lasery. Při průchodu gravitační vlny dojde k narušení laserového paprsku jednoho ramena vůči druhému a interferometr toto okamžitě zaznamená. Jedním z největších pozemských interferometrů je LIGO s délkou ramene 4 km. Plánuje se vesmírný interferometr LISA, ale o tom více až v příštích dílech o teleskopech a detektorech.

Dalším známým důsledkem zakřivení prostoročasu a tedy i důkazem správnosti OTR je stáčení perihelia Merkuru. Perihelium je bod na eliptické dráze oběhu Merkuru kolem Slunce, v kterém je Merkur Slunci nejblíže. Merkur byl vybrán z logických důvodů, neboť má nejkratší periodu oběhu kolem Slunce. Stáčení perihelia pak znamená, že se celá eliptická orbita pomalu otáčí kolem ohniska, v němž je Slunce. Vědci už v půlce 19. století spočítali stáčení perihelia Merkuru Newtonovskou fyzikou díky vlivům ostatních planet a nesymetrie Slunce, ale pozorování se od výpočtů lišilo o 43″ (celková pozorovaná precese je asi 500″). Einsteinovy z výpočtů užitím OTR těchto chybějících 43″ vyšlo přesně a pomohlo to tak přijetí OTR jako uznávané teorie.

Einsteinovy rovnice
Samozřejmě Einstein není uznáván jako genius proto, že vymyslel síť a kuličky. Stěžejní částí OTR jsou Einsteinovy rovnice, které udávají jaká pole zdroje generují a jak se v nich částice pohybují. Odvození rovnic by zabralo několik článků, takže se spokojte pouze s finálním výsledkem. Jedná se o nelineární parciální diferenciální rovnice 2. řádu. Rovnic je 16 (2 indexy o 4 různých hodnotách), respektive díky symetriím 10.

Indexované R je Ricciho tenzor, jednoduché R je skalární křivost, g je metrika, velká lambda je kosmologický člen a T je tenzor energie a hybnosti. Rovnice je opravdu hardcore, takže se jí nemá smysl dál zabývat. Ostatně hardcore se zdála i samotnému Einsteinovi, který byl prý velice smutný, že k těmto rovnicím zřejmě jen tak někdo nenajde korektní řešení. To ještě ale nevěděl, že německý fyzik Karl Schwarzschild pošle za necelý měsíc přesné sféricky symetrické vakuové řešení Einsteinových rovnic (které prý vydumal během první světové války v zákopu na frontové linii, ale je to neověřená informace:)

Schwarzschildovo řešení popisuje gravitační pole sférické, nenabité a nerotující masy, tedy třeba hvězdy, planety, černé díry, atp. Tato hmota je charakterizována pouze poloměrem R a hmotností M. Nerelativistická fyzika platí pro případy, kdy těleso má nulovou hmotnost nebo kdy jsme od tělesa velmi vzdáleni (nepociťujeme jeho gravitační pole). Schwarzschildova metrika má dvě singularity (některý z členů metriky má hodnotu nekonečno): r=0 a r=2M, kde r je vzdálenost pozorovatele od středu tělesa, neplést s poloměrem tělesa R. Pro rozlehlá tělesa, která mají R > 2M, je Schw. vakuové řešení v pořádku, protože obě singularity nastávají uvnitř tělesa, kde to neřešíme (není tam vakuum, takže Schw. řešení už tam neplatí). Zajímavé to začne být až pro velmi kompaktní a těžká tělesa, pro která platí R černých dírách. Schwarzschildovo řešení tedy popisuje, jak se bude chovat částice nebo pozorovatel velmi blízko takové černé díry. Singularita r=0 nás opět nezajímá, ta se vždy nachází uvnitř tělesa, zato sféra o poloměru r=2M (tzv. Schwarzschildův poloměr) se nyní nachází vně naší černé díry a nazývá se horizont událostí.

Tento horizont je jakási jednocestná membrána, skrz kterou jde do černé díry spadnout, ale už se skrz ní nedostaneme ven. Horizont má několik zajímavých vlastností. Je jasné, že čím jsme černé díře blíž, tím těžší je pro nás stát na místě a nespadnout do ní. V místě horizontu bych už pak musel vynaložit nekonečnou energii, abych stál na místě, a zákonitě začnu do černé díry padat nehledě na síly, které mě „tahají ven“. Z povrchu černé díry tedy nemůže nic skrz horizont odletět, ani světlo. Na horizontu také nabývají všechny relativistické efekty nekonečných hodnot, dochází k nekonečnému frekvenčnímu posuvu, k nekonečné dilataci času (bude se nám tedy zdát, že astronaut padá do černé díry nekonečně dlouho, astronaut ale žádné zpomalení na svých hodinkách nepocítí, není to tedy bohužel návod na nesmrtelnost:) Další analýza Schw. metriky už není tak triviální a proto ji tímto opustíme.

Kerrovo řešení Einsteinových rovnic (1963)
Řešení novozélandského matematika Roye Patricka Kerra je přesné axiálně symetrické vakuové řešení. Změna jednoho slova znamená, že se teď jedná o pole kolem nenabitého sférického, ale rotujícího objektu. Toto řešení má velký přínos, jelikož se prakticky všechna tělesa ve vesmíru točí a podle OTR dochází rotací ke strhávání prostoročasu, síť se tedy nejen prohloubí, ale i zkroutí.

Kerrovo řešení má dva horizonty, jeden je nám známý Schw. horizont událostí a druhý je na ploše vymezené elipsoidem, jehož tvar závisí na rychlosti rotace černé díry a nazývá se ergosféra. Pozorovatel, nacházející se na hranici ergosféry, sice ještě nemusí nutně padat do černé díry, ale i tak nemůže zůstat stát na místě a musí korotovat s černou dírou (tj. obíhat ji ve směru její rotace). Kerrovy horizonty se dělí o vlastnosti, takže zatímco z ergosféry lze ještě uniknout, tak na ní dochází k nekonečnému frekvenčnímu posunu a je to také statická mez, pod kterou nemůžeme zůstat v klidu vůči nekonečnu. Tyto vlastnosti nabízí možnost extrakce energie z rotující černé díry (zelení se radují) nebo jistou formu cestování časem, kdy jde projít místem černé díry za určitý časový okamžik a objevit se na tom samém místě, aniž by pro pozorovatele venku uběhl jakýkoliv čas (astronaut by z ničeho nic zestárnul). Tyto úvahy už jsou ale hardcore i na mě a tak raději pro dnes skončíme.

Doufám, že dnešní lekce byla lepší než ta minulá a do příště se musím rozhodnout, zda projít kvantovou mechaniku nebo se vrhnout na astronomii.
Live long and prosper


14.05.2009 Redguy

12345 (Zatím nikdo nehlasoval)
411x přečteno
Updatováno: 27.11.2015 — 23:59
D-FENS © 2017
Do NOT follow this link or you will be banned from the site!